クアンタマガジン

2023 年 2 月 2 日

クリスティーナ・アーミテージ/クアンタ・マガジン

寄稿特派員

2023 年 2 月 2 日

60 年以上前、ラルフ フォックスは、今日に至るまで数学者を悩ませている結び目に関する問題を提起しました。 彼の疑問は現在、「スライスリボン予想」として定式化されることが多く、この予想では、一見別個に見える 2 つの結び目のグループが実際には同じであると仮定されます。 ノットの世界におけるエレガントなシンプルさを示唆するこの問題は、ノット理論において最も注目を集める問題の 1 つとなっています。 ボンのマックス・プランク数学研究所の数学者、アルニマ・レイ氏は、「それは、世界が他の方法で予想されるよりももう少し構造化されていることを意味するでしょう」と述べた。

何十年もの間、ある特定の結び目がこの推測を解決する可能性のあるルートであると疑われていました。 しかし、昨年夏に投稿された論文では、5人の数学者がこの結び目は結局のところ機能しないことを発見した。 彼らが導入した議論は、より広範なクラスの結び目に対する新たな洞察を提供することになるが、研究全体としては、数学者がこの推測について不確かなままになっている。 ラトガース大学の数学者クリステン・ヘンドリックス氏は、「それが真実であるかどうかについては、実際に正当な論争があると思う」と述べた。

スライス リボン予想は、スライス ノットとリボン ノットという 2 種類のノットに関係します。 どの結び目がスライスであるかを解明することは、「私たちの主題が中心に展開する基本的な質問の1つです」と、新しい論文の著者の1人であるアビシェク・マリックは述べた。

数学的な結び目は、通常の糸のループと考えることができます。 数学者は、結び目のない単純なループを「結び目なし」と呼びます。 (これは通常の意味での結び目ではありませんが、数学者は結び目のないものを結び目の最も単純な例と考えています。)

結び目は、通常の意味では必ずしも円盤のように見えるわけではありませんが、数学者が円盤と呼ぶ形状の境界も定義します。 最も単純な例である結び目を解くと、円の境界が形成されます。これは実際に円盤のように見える「円盤」です。 しかし、このループは、テーブルの上に平らに置かれた円だけでなく、テーブルの上に逆さまに置かれた三次元に広がるボウルの境界も形成しています。 ノットによって定義される円盤は、3 次元から 4 次元にさらに拡張できます。

紐に結び目があると、ディスクはさらに複雑になります。 3 次元空間では、これらの円盤には特異点、つまり数学的に正しく動作しない点があります。 スライスノットは、そのような特異点のない円盤を見つけることが (4 次元で) 可能であるノットです。 同じくマックス・プランク研究所のピーター・タイヒナー氏が言うように、スライスノットは「結び目を解くのに次ぐ最良のもの」だ。

それにもかかわらず、3 次元のスライスノットで囲まれたディスクは醜く、扱いにくい場合があります。 スライスリボン予想は、必ずしもそうである必要はないと言っています。

リボンノットは、円盤がリボンに似ている結び目です。 3 次元では、通常のリボンが中央に作られた溝を通って引っ張られるのと同じように、これらのリボンはそれ自体を通過できます。 数学的には、このようなパススルーはリボン特異点と呼ばれます。 他のタイプの特異点とは異なり、リボン特異点は 4 次元に移行することで簡単に解消できます。 これにより、数学者はすべてのリボンの結び目がスライスされていることを簡単に示すことができます。

逆に、すべてのスライスの結び目もリボンであるということは、スライスリボン予想であり、これは数十年にわたって未解決の問題でした。 (問題をさらに複雑にするために、スライス ノットには、「滑らかなスライス」や「トポロジカルなスライス」など、いくつかの関連する分類があります。この推測は、数学者が通常「スライス」と呼ぶ意味である「滑らかなスライス」タイプのノットにのみ当てはまります。)

この推測を反証するには、滑らかにスライスされているがリボンではない結び目を見つけるだけで十分です。 何十年もの間、数学者たちはその候補に注目していました。8 の字結び目の (2, 1) ケーブルです。これは 2 本目の紐を 8 の字結び目に沿って通し、2 本の紐を合わせて 1 つの結び目を作ります。